Элементарные функции

Пусть $a > 1$, тогда $y = \log_{a}x$ - функция, обратная к $x = a^{y}$ $\log_{a}x: (0, +\infty) \to (-\infty, +\infty)$ $\log_{a}x$ - строго возрастает $\log_{a}x$ - непрерывна по теореме о непрерывности обратной функции

$x^{\alpha} := e^{\alpha \ln x}, x \in (0, +\infty)$ $x^{\alpha}$ - строго возрастает при $\alpha > 0$ и строго убывает при $\alpha < 0$ $x^{\alpha}$ - непрерывна по теореме о непрерывности сложной функции

$\sin x$ - ордината точки на единичной окружности $\sin x$ - непрерывна (доказывается через определение) $\cos x := \sin\left( \dfrac{\pi}{2} + x \right)$ $\cos x$ - непрерывна по теореме о непрерывности сложной функции $\mathrm{tg} x := \dfrac{\sin x}{\cos x}, x \neq \dfrac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ $\mathrm{tg} x$ - непрерывна по теореме о непрерывности частного (Аналогично для $\mathrm{ctg} x = \dfrac{\cos x}{\sin x}$)

$\arcsin x: [-1, 1] \to \left[ - \dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2} \right]$ (обратна к $\sin$ на $\left[ - \dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2} \right]$) $\arccos x: [-1, 1] \to [0, \pi]$ $\mathrm{arctg} x:$ $\mathbb{R} \to \left( - \dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2} \right)$ ($\lim_{x \to +\infty} \mathrm{arctg} x = \dfrac{\pi}{2}$)

- $\mathrm{sh} x = \dfrac{e^{x} - e^{-x}}{2}$ - $\mathrm{ch} x = \dfrac{e^{x} + e^{-x}}{2}$ - $\mathrm{th} x = \dfrac{\mathrm{sh} x}{\mathrm{ch} x}$ - $\mathrm{cth} x = \dfrac{\mathrm{ch} x}{\mathrm{sh} x}$

Показательная функция и все вышеописанные функции, их всевозможные конечные линейные комбинации и композиции - элементарные функции. Все элементарные функции - непрерывны.